propiedades de las potencias

Definición de potencia.

El producto a · a · a tiene sus 3 factores iguales por lo cual se puede puede representar de manera abreviada como a3 significa la multiplicación sucesiva de la base, según su exponente.

an donde “a” es la base y “n” el exponente.

“a”: indica el numero que se multiplicara por si mismo.
“n”: indica la cantidad de veces que el numero se multiplicara por si mismo.

Ejemplos:

23=2⋅2⋅2=8
34=3⋅3⋅3⋅3=81

En números pequeños como el de los ejemplos, no es complicado resolver una potencia, ¿Que sucede en operaciones mayores?

Ejemplo: 23⋅26⋅23⋅3−7⋅30⋅37⋅22

Esto se puede resolver potencia por potencia y llegar a un resultado, pero sin calculadora es un proceso demasiado largo, por eso aplicamos las propiedades de las potencias y simplificamos el problema.

Propiedades de las Potencias

1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre sera 1.

a0=1250=1

2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado sera su base.

a1=a251=25

3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.

am⋅an=am+n252⋅255=25(2+5)=257

4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.

am:an=am−n252:255=25(2−5)=253

5-. Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.

am⋅bm=(a⋅b)m252⋅52=(25⋅5)2=1252

6-. División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.

am:bm=(a:b)m252:52=(25:5)2=52

7-. Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes.

(am)n=am⋅n(252)5=25(2⋅5)=2510

8-. Potencia con exponente negativo: no se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo.

a−m=1am25−2=1252

9-. Potencia con exponente fraccionario:  Es igual al radical donde el denominador es el indice de la raiz y el numerador es el exponente de la raíz

anm=an−−√m=(a−−√m)n2525=252−−−√5=(25−−√5)2

10-. Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el indice la la raíz.

a1m=a−−√m2515=25−−√5

Con esto terminamos las propiedades de las potencias  ahora la única forma de comprenderlas y aplicarlas es haciendo ejercicios y aplicando cada propiedad de ellas.

Ejercicios:

35⋅34⋅3−1⋅34⋅3−652⋅5−7⋅55⋅535⋅24⋅3−7⋅27⋅32⋅2−823⋅34⋅45⋅3−2⋅28⋅4−3⋅37⋅24⋅4222⋅32⋅42⋅34⋅32⋅30923